BSRipasso

Modulo 3 di 6

Probabilità

1. Obiettivo

Risolvere senza esitazioni domande su "almeno uno", probabilità condizionate, Bayes e valore atteso.
È l'area dove si perdono più punti per errori di impostazione, non di calcolo.

2. Teoria essenziale

Complemento

P(Aˉ)=1−P(A)P(\bar{A}) = 1 - P(A)
complemento
P(almeno uno)=1−(1−p)nP(\text{almeno uno}) = 1 - (1-p)^{n}
n eventi indipendenti con probabilità p

Eventi indipendenti e unione

P(A∩B)=P(A) P(B)P(A \cap B) = P(A)\,P(B)
solo se indipendenti
P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)
unione: togli la sovrapposizione

Si sommano direttamente solo eventi mutuamente esclusivi (non possono accadere insieme).

Probabilità condizionata e Bayes

P(A∣B)=P(A∩B)P(B)P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}
probabilità condizionata
P(B)=∑iP(B∣Ai) P(Ai)P(B) = \sum_i P(B \mid A_i)\,P(A_i)
probabilità totale
P(A∣B)=P(A) P(B∣A)P(B)P(A \mid B) = \dfrac{P(A)\,P(B \mid A)}{P(B)}
Bayes

Metodo rapido con le frequenze naturali: immagina 10.000 utenti, distribuiscili sui rami, conta i casi. È più veloce e riduce gli errori.

Valore atteso

E[X]=∑ipi xiE[X] = \sum_i p_i \, x_i
probabilità per esito, sommato su tutti gli esiti

Combinatoria base

N=n1×n2×n3N = n_1 \times n_2 \times n_3
scelte indipendenti in sequenza
n!=n×(n−1)×⋯×1n! = n \times (n-1) \times \dots \times 1
permutazioni: l'ordine conta
(nk)=n!k! (n−k)!\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}
combinazioni: l'ordine non conta
(52)=10(103)=120\binom{5}{2} = 10 \qquad \binom{10}{3} = 120
esempi

3. Diagrammi

UtenteiOSP = 60%AndroidP = 40%Converte (5%)0,6 × 0,05 = 3,0%Non converte (95%)0,6 × 0,95 = 57,0%Converte (2%)0,4 × 0,02 = 0,8%Non converte (98%)0,4 × 0,98 = 39,2%P(iOS | converte) = 3,0% / (3,0% + 0,8%) = 78,9%Si moltiplica lungo i rami, poi si divide il ramo che interessa per la somma dei rami compatibili

Albero di probabilità: il peso della piattaforma conta quanto il tasso di conversione. Ignorarlo porta a 5 / (5 + 2) = 71,4%, sbagliato.

P(almeno uno)quello che chiedono1 − P(nessuno)il complemento1 − (1 − p)^nse eventi indipendenti==2 creativitàp = 30% ciascuna1 − 0,7 × 0,7= 1 − 0,4951%non 60%, non 9%EsempioSanity check: la risposta deve stare tra il massimo dei singoli p e la loro somma

"Almeno uno" si calcola quasi sempre passando dal complemento: è più veloce e meno soggetto a errori che sommare i casi.

4. Esempio svolto

Testo. Il 2% di chi avvia la trial diventerà un "power user". Un segnale comportamentale nei primi 3 giorni si accende per il 90% dei futuri power user e per il 10% degli altri. Se il segnale si accende, qual è la probabilità che l'utente sia un futuro power user?

  1. Immagina 10.000 utenti in trial: 200 power user, 9.800 altri.
  2. Segnale acceso tra i power user: 200 × 90% = 180.
  3. Segnale acceso tra gli altri: 9.800 × 10% = 980.
  4. P(power | segnale) = 180 / (180 + 980) = 180 / 1.160 = 15,5%.
  5. Lettura: il segnale sembra "accurato al 90%", ma con una base rate del 2% la maggior parte dei positivi è falsa. È l'errore classico da evitare (base rate neglect).

5. Trappole tipiche

6. Esercizi

Target: 60-90 secondi per esercizio. Cronometrati e scrivi la risposta prima di aprire la soluzione.

1. Due creatività pubblicitarie indipendenti hanno ciascuna il 30% di probabilità di battere la baseline. Probabilità che almeno una la batta?

Soluzione

1 − 0,7 × 0,7 = 1 − 0,49 = 51%.

2. Lanci tre test indipendenti, ognuno con il 5% di probabilità di falso positivo. Probabilità di almeno un falso positivo?

Soluzione

1 − 0,95³ = 1 − 0,857 = 14,3%. Quasi il triplo del singolo test.

3. Il 40% dei destinatari apre l'email; chi apre clicca nel 15% dei casi. Che percentuale dei destinatari clicca?

Soluzione

P(clic) = P(apre) × P(clic | apre) = 0,40 × 0,15 = 6%.

4. Il 70% del traffico è organico (conversione 2%) e il 30% paid (conversione 5%). Preso un utente convertito, probabilità che venga dal paid?

Soluzione

Organico convertito: 0,7 × 2% = 1,4%. Paid convertito: 0,3 × 5% = 1,5%. P(paid | converte) = 1,5 / 2,9 = 51,7%.

5. Test sul paywall. Variante A: +2% di revenue certo. Variante B: 50% di probabilità di +6%, 50% di probabilità di −1%. Quale ha il valore atteso più alto?

Soluzione

EV(B) = 0,5 × 6% + 0,5 × (−1%) = +2,5% contro +2,0% di A. B per valore atteso; A è la scelta a rischio zero. Nel test rispondi a ciò che chiede la domanda (qui: valore atteso).

6. Hai 4 titoli, 3 immagini e 2 call to action. Quante varianti di annuncio puoi creare? Quante coppie distinte di varianti puoi confrontare?

Soluzione

Varianti = 4 × 3 × 2 = 24. Coppie = C(24, 2) = 24 × 23 / 2 = 276.

7. In un test a scelta multipla con 4 opzioni, una risposta giusta vale +1 e una sbagliata −0,25. Qual è il valore atteso di una risposta a caso? E se hai eliminato con certezza un'opzione?

Soluzione

A caso: 0,25 × 1 − 0,75 × 0,25 = +0,0625. Con un'opzione eliminata: 1/3 − 2/3 × 0,25 = +0,167. La penalità che azzera il tiro a caso con 4 opzioni è 1/3. Non conoscendo la penalità del test reale, vedi la regola prudente nel Modulo 6.

8. Il 40% dei nuovi utenti torna il giorno 1. Chi torna al D1 torna al D7 con probabilità 50%, chi non torna al D1 torna al D7 con probabilità 10%. Qual è la retention D7? Se un utente è attivo al D7, probabilità che fosse attivo al D1?

Soluzione

P(D7) = 0,4 × 0,5 + 0,6 × 0,1 = 0,20 + 0,06 = 26%. P(D1 | D7) = 0,20 / 0,26 = 76,9%. Probabilità totale, poi Bayes.

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