Modulo 1 di 6

Percentuali e crescita

1. Obiettivo

Calcolare variazioni, tassi composti e contributi alla crescita senza errori di base o di arrotondamento.
È il fondamento di quasi tutte le domande numeriche del test: un errore qui si propaga ovunque.

2. Teoria essenziale

Variazione percentuale

\Delta\% = \dfrac{\text{nuovo} - \text{vecchio}}{\text{vecchio}}

la base è sempre il valore di partenza

La base è sempre il valore di partenza. Se la domanda dice "rispetto a", la base è ciò che segue "rispetto a".

Punti percentuali vs percentuale

Quando la grandezza è già un tasso (conversione, churn, retention), distingui la variazione assoluta in punti percentuali dalla variazione relativa.

4\% \;\rightarrow\; 5\% \qquad +1\ \text{pp} \qquad \dfrac{1}{4} = +25\%\ \text{relativo}

stessa variazione, due modi di esprimerla

Variazioni composte

Variazioni successive si moltiplicano, non si sommano.

\text{variazione totale} = (1+a)(1+b)(1+c) - 1

si moltiplicano i fattori

1{,}1 \times 1{,}2 - 1 = +32\%

esempio: +10% poi +20%

Asimmetria calo e recupero

\text{recupero necessario} = \dfrac{x}{1-x}

x = calo iniziale

x = 20\% \Rightarrow \dfrac{0{,}2}{0{,}8} = 25\% \qquad x = 50\% \Rightarrow 100\%

esempi

CAGR e conversione tra periodi

\text{CAGR} = \left(\dfrac{\text{finale}}{\text{iniziale}}\right)^{1/n} - 1

n = numero di periodi di crescita

g_{\text{annuo}} = (1+g_{\text{mese}})^{12} - 1

da mensile ad annuo

g_{\text{mese}} = (1+g_{\text{annuo}})^{1/12} - 1

da annuo a mensile

\text{retention}_n = (1-c)^{n}

churn costante c per periodo

Conta bene i periodi: dal 2023 al 2026 sono 3 anni di crescita, non 4.

Tempo di raddoppio

t_{\times 2} \approx \dfrac{72}{g\%}

stima; poi verifica con le potenze

g = 10\% \Rightarrow t_{\times 2} \approx 7{,}2 \qquad 1{,}1^{7} = 1{,}95 \qquad 1{,}1^{8} = 2{,}14

in periodi interi servono 8 mesi

È una stima. Se la domanda chiede periodi interi, verifica con le potenze: 1,1^7 = 1,95 (non basta), 1,1^8 = 2,14.

Contributo dei segmenti alla crescita

g_{\text{tot}} = \sum_i w_i \, g_i

w = peso del segmento a inizio periodo, g = sua crescita

0{,}6 \times 10\% + 0{,}4 \times (-5\%) = +4\%

esempio iOS e Android

3. Diagrammi

Stesso tasso di partenza, risultati molto diversi dopo 12 mesi: la crescita composta si calcola moltiplicando i fattori (1,1^12 = 3,14), non sommando le percentuali.

Stessa distanza assoluta (20), percentuali diverse perché cambia la base. Recupero necessario dopo un calo x: x / (1 − x).

4. Esempio svolto

Testo. Il revenue di un'app è passato da 8 M€ nel 2023 a 13,824 M€ nel 2026. Qual è il CAGR? Qual è il tasso mensile equivalente? Se il 2027 cresce allo stesso ritmo ma il 70% del revenue (iOS) cresce del 25%, quanto deve crescere il restante 30%?

Rapporto: 13,824 / 8 = 1,728. Periodi: 3 anni.
1,728 = 1,2³ → CAGR = 20%.
Mensile equivalente: 1,2^(1/12) − 1 = 1,53% (non 20 / 12 = 1,67%).
Contributi 2027: 0,7 × 25% = 17,5 pp. Servono 20 − 17,5 = 2,5 pp dal segmento Android.
Crescita richiesta ad Android: 2,5 / 0,3 = 8,3%.
Sanity check: 0,7 × 1,25 + 0,3 × 1,083 = 0,875 + 0,325 = 1,20. Torna.

5. Trappole tipiche

Pp vs %: rispondere "+1%" quando la conversione passa dal 4% al 5%.
Sommare variazioni successive: +10% e −10% non fanno zero.
Contare male i periodi nel CAGR (anni di crescita = anno finale − anno iniziale).
Dividere per 12 un tasso annuo per ottenere quello mensile (e viceversa moltiplicare).
Regola del 72 presa come risposta quando la domanda chiede periodi interi: stima, poi verifica.
Base sbagliata: "A è il 25% più grande di B" non equivale a "B è il 25% più piccolo di A" (B è il 20% più piccolo).
Arrotondare a metà calcolo: tieni i decimali fino alla fine, arrotonda solo la risposta.

6. Esercizi

Target: 60-90 secondi per esercizio. Cronometrati e scrivi la risposta prima di aprire la soluzione.

1. La conversione del paywall passa dal 4% al 5%. Qual è la variazione in punti percentuali e in percentuale?

Soluzione

In punti percentuali: 5 − 4 = +1 pp. In percentuale: 1 / 4 = +25%. Leggi sempre quale delle due chiede la domanda.

2. Le trial avviate calano del 20% a causa di un bug. Di quanto devono crescere per tornare al livello iniziale?

Soluzione

0,20 / 0,80 = +25%. Verifica: 100 → 80 → 80 × 1,25 = 100.

3. Alzi il prezzo dell'abbonamento del 10% e poi lanci uno sconto del 10% sul nuovo prezzo. Variazione netta del prezzo?

Soluzione

1,10 × 0,90 = 0,99 → −1%. Le percentuali non si compensano perché si applicano a basi diverse.

4. Il revenue è 60% iOS e 40% Android. iOS cresce del 10%, Android cala del 5%. Crescita totale del revenue?

Soluzione

Contributi: 0,6 × 10% = +6,0 pp; 0,4 × (−5%) = −2,0 pp. Totale +4%. Verifica: 60 × 1,1 + 40 × 0,95 = 66 + 38 = 104.

5. Gli abbonati crescono del 3% al mese. Qual è la crescita annua?

Soluzione

1,03^12 − 1 = 1,4258 − 1 = +42,6%. La somma semplice (36%) sottostima.

6. Il revenue di un'app passa da 10 M€ nel 2023 a 17,28 M€ nel 2026. Qual è il CAGR?

Soluzione

Gli anni sono 3 (2023 → 2026, non 4). 17,28 / 10 = 1,728 = 1,2³ → CAGR 20%. Trucco: riconoscere le potenze comuni (1,1² = 1,21; 1,2³ = 1,728; 1,5² = 2,25).

7. Churn mensile costante del 4%. Che percentuale di una coorte resta dopo 12 mesi? E dopo quanti mesi interi scende sotto il 50%?

Soluzione

0,96^12 = 61,3%. Per il 50%: ln(0,5) / ln(0,96) = 17,0 → 17 mesi (a 16 mesi resta ancora il 52,0%, a 17 il 49,96%: appena sotto, per questo conviene sempre verificare con la potenza).

8. I DAU crescono del 10% al mese. Dopo quanti mesi interi saranno almeno triplicati?

Soluzione

ln 3 / ln 1,1 = 11,53 → 12 mesi. Controllo: 1,1^11 = 2,85 (non basta), 1,1^12 = 3,14. Stima rapida: il raddoppio è ≈ 7,2 mesi e 3 ≈ 2^1,58, quindi ≈ 7,2 × 1,58 ≈ 11,4, da arrotondare per eccesso e verificare.

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